العدد العقدي أوالعدد المركب Complex number هوأي عدد على الصورة: ${\displaystyle a+bi\,$ حيث حتى a وb هما عددان حقيقيان وi هوعدد تخيلي مربعه = -1. ويسمي العدد الحقيقي a بالجزء الحقيقي والعدد الحقيقي b بالجزء التخيلي. فمثلا، ثلاثة + 2i هوعدد عقدي، فيه ثلاثة هوالجزء الحقيقي، و2 هوالجزء التخيلي.

وعندماقد يكون b (أي الجزء التخيلي) = 0، فإن قيمة العدد العقدي تساوي قيمة الجزء الحقيقي a فقط وسمي العدد عددًا حقيقيـًا صرفًا Purely real. وعندماقد يكون a (أي الجزء الحقيقي) = 0، كان العدد تخيليـًا صرفـًا Purely imaginary.

من الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد العقدية، كالجمع والطرح والقسمة والضرب، تمامًا كالأعداد الحقيقية، ولكنها أيضـًا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.

وأحيانـًا قد يخط العدد العقدي z على الصورة z = a + bj (خصوصـًا في مجال الهندسة الكهربية، لأن i هورمز التيار الكهربي)

التعريف

العدد العقدي هوالذي يتكون من مجموع عددين، أحدهما عدد حقيقي والآخر عدد تخيلي، وقد يكون مربع العدد التخيلي عدد سالب. ويعهد العدد المركب بأنه العدد الذي يمكن وضعه على الصورة: ${\displaystyle z=x+iy,i={\sqrt {-1 ,x,y\in R$

نظرة تاريخية

ظهرت الأعداد العقدية قبل حتى يكتمل وضوح الأعداد السالبة والأعداد غير المنطقة (الصماء)، وكان ذلك عندما حاول الجبريون الإيطاليون في عصر النهضة حل معادلات من الدرجة الثالثة. لقد لاحظ كاردان (1501- 1576) Cardan أنه يمكن حتىقد يكون من بين جذور المعادلة س3+مـ س=ن جذر تربيعي لعدد سالب، وتجرأ بومبلي Bombelli، وهومن رياضيي القرن السادس عشر، فأدخل في حساباته المقدار بفرض حتى ب عدد موجب، وسمي هذا المقدار مقداراً محالاً، كما قدم بومبيلي تقريبات للعمليات الحسابية الأساسية الأربع مستخدماً المقدار المحال (بعبارات تكاد تكون حديثة). وقبل ألبير جيرار (1595- 1632) Girard الجذور العقدية للمعادلات، وكان أول من أكد حتى ن جذر للمعادلة من الدرجة ن، شرط إدخال الجذور المحالة ضمن هذا العدد. ولقد رفض ديكارت في هندسته تعبير الأعداد المحالة واستخدم بدلاً منه تعبير الجذور التخيلية. تعامل رياضيوالقرن السابع عشر مع الأعداد العقدية واستخدموها بثقة كبيرة قبل حتى يتأكد الوجود الرياضي للأعداد العقدية، كما أنهم لم يترددوا في استخدام لغرتمات الأعداد التخيلية.

وفي منتصف القرن الثامن عشر برهن دالمبير على إمكان كتابة جميع عدد عقدي على النحوب + ت حـ بفرض حتى ب، حـ عددان حقيقيان، كما عمم رياضيوهذا القرن عمليات الأعداد الحقيقية على الأعداد العقدية، ويعود الفضل إلى وسِّل Wessel (عام 1797)، وأرگاند (1768- 1822) Argand في تمثيل الأعداد العقدية بمتجهات مستوية، غير حتى گاوس (1798- 1831) Gauss هوالذي وضح العلاقة بين الأعداد العقدية ونقاط المستوي، فكل عدد عقدي ص= ب + ت حـ يقابَل بنقطة من المستوي المنسوب إلى نظام مقارنة ديكارتي قائم ولكن البناء الحدسي لمجموعة الأعداد العقدية لم يرق للجبريين مثل هاملتون (1805- 1865) Hamilton، فحاولوا بناء هذه المجموعة منطقياً انطلاقاً من قاعدة، هي مجموعة الأعداد الحقيقية (على الرغم من أنها لم تكن قد عهدت آنذاك على نحودقيق). انطلقوا من تعريف الأعداد العقدية على أنها ثنائيات مرتبة (أزواج) من الأعداد الحقيقية.

تمثيل الأعداد المركبة

إذا فرضنا حتى z هوعدد مركب، وa وb هما عددان حقيقيان، وi هوعدد تخيلي، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي:

التمثيل الجبري

يخط العدد المركب z جبريًا بالشكل: ${\displaystyle z=a+bi\,$

التمثيل الهندسي

يخط العدد على شكل ${\displaystyle \cos a+i\sin a\,$

التمثيل الأسي

يخط العدد على شكل ${\displaystyle k.^{i e\,$

الحساب في مجموعة الأعداد العقدية

الجمع

تتم عملية الجمع كما يلي:

${\displaystyle (a+bi)+(a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i\,$

الضرب

تتم عملية الضرب كما يلي

${\displaystyle (a+bi)(a'+b'i)=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i\,$

الخارج

تتم عملية القسمة كما يلي:

${\displaystyle {\frac {a+bi {a'+b'i ={\frac {(aa'+bb')+i(a'b-ab') {a'^{2 +b'^{2 \,$

مرافق عدد عقدي

تعريف

مرافق العدد العقدي ${\displaystyle a+bi\,$ هوالعدد العقدي ${\displaystyle a-bi\,$ .

مرافق العدد العقدي ${\displaystyle z$ نرمز له ب:${\displaystyle {\bar {z$

Geometric representation of ${\displaystyle z$ and its conjugate ${\displaystyle {\bar {z$ in the complex plane.

الأعداد المترافقة والعمليات

1. مرافق مجموع عددين عقديين هومجموع مرافق جميع من حدي المجموع
2. مرافق جداء عددين عقديين هوجداء مرافق جميع من حدي الجداء

معيار عدد عقدي

جدر مربع جداء عدد عقدي في مرافقه يسمى معيار العدد العقدي

التمثيل الهندسي للأعداد العقدية

لحق نقطة

المستوى ${\displaystyle {\mathcal {P$ منسوب لمفهم متعامد ممنظم، التطبيق الذي يربط جميع عدد عقدي جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالنقطة M من ${\displaystyle {\mathcal {P$ التي أفصولها a وأرتوبها b ، هوتطبيق تقابلي والعدد العقدي ${\displaystyle a+bi\,$ يسمى 'لحق' النقطة M.

لحق متجهة

المستوى المتجهي ${\displaystyle {\mathcal {V$ منسوب لمفهم متعامد ممنظم، التطبيق الذي يربط جميع عدد عقدي جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالمتجهة ${\displaystyle {\vec {u$ من ${\displaystyle {\mathcal {V$ التي أفصولها a وأرتوبها b ، هوتطبيق تقابلي والعدد العقدي ${\displaystyle a+bi\,$ يسمى 'لحق' المتجهة ${\displaystyle {\vec {u$.

• X = A + B
  The sum of two points A and B of the complex plane is the point X = A + B such that the triangles with vertices 0, A, B, and X, B, A, are congruent. Thus the addition of two complex numbers is the same as vector addition of two vectors.

• X = AB
  The product of two points A and B is the point X = AB such that the triangles with vertices 0, 1, A, and 0, B, X, are similar.

• X = A*
  The complex conjugate of a point A is the point X = A* such that the triangles with vertices 0, 1, A, and 0, 1, X, are mirror images of each other.

أنظر أيضاً

• Circular motion using complex numbers
• Complex base systems
• Complex geometry
• Complex plane
• De Moivre's formula
• Domain coloring
• Eisenstein integer
• Euler's identity
• Gaussian integer
• Hypercomplex number
• Local field
• Mandelbrot set
• Mathematical diagram
• Quaternion
• Riemann sphere (extended complex plane)
• Split-complex number
• Square root of complex numbers
• Imaginary number/Imaginary unit

المصادر

الموسوعة العربية

• Ahlfors, Lars (1979), Complex analysis (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577 
• Conway, John B. (1986), Functions of One Complex Variable I, Springer, ISBN 0-387-90328-3 
• Joshi, Kapil D. (1989), Foundations of Discrete Mathematics, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-21152-6 
• Pedoe, Dan (1988), Geometry: A comprehensive course, Dover, ISBN 0-486-65812-0 
• Solomentsev, E.D. (2001), "Complex number", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 

مصادر تاريخية

• Burton, David M. (1995), The History of Mathematics (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-009465-9 
• Katz, Victor J. (2004), A History of Mathematics, Brief Version, Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-16193-2 
• Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of ${\displaystyle {\sqrt {-1$ (hardcover ed.), Princeton University Press, ISBN 0-691-02795-1 

  A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.

• H.-D. Ebbinghaus ... (1991), Numbers (hardcover ed.), Springer, ISBN 0-387-97497-0 

  An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

قراءات أخرى

• The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, by Roger Penrose; Alfred A. Knopf, 2005; ISBN 0-679-45443-8. Chapters 4-7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.
• Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra, by John Derbyshire; Joseph Henry Press; ISBN 0-309-09657-X (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.
• Visual Complex Analysis, by Tristan Needham; Clarendon Press; ISBN 0-198-53447-7 (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.

وصلات خارجية

• Euler's work on Complex Roots of Polynomials at Convergence. MAA Mathematical Sciences Digital Library.
• John and Betty's Journey Through Complex Numbers
• MathWorld articles Complex number and Argand Diagram, and demonstration "Argand Diagram".
• Dimensions: a math film. Chapterخمسة presents an introduction to complex arithmetic and stereographic projection. Chapterستة discusses transformations of the complex plane, Julia sets, and the Mandelbrot set.