مبرهنة آبل
في الرياضيات، مبرهنة آبل للمتسلسلات الأسية تربط نهاية متسلسلة أسية بمجموع معاملاتها. وهي مسماة على اسم عالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك آبل.
المبرهنة
افترض حتى a = {ak: k ≥ 0 هي أي تسلسل من الأعداد الحقيقية أوالمركبة وافترض أن
هي المتسلسلة الأسية وعواملها هي a. افترض حتى المتسلسلة تتقارب. إذاً
حيث المتغير z يـُفترض حتىقد يكون حقيقياً، أو، بصورة أعم، يقع ضمن أي زاوية شتولتس، أي منطقة من قرص الوحدة المفتوح حيث
لبعض M. التخلي عن هذا التقييد قد يؤدي إلى عدم صحة التساوي.
في الحالة الخاصة التيقد يكون فيها جميع المعاملات ai حقيقية وak ≥ 0 لجميع k، في تلك الحالة تكون المعادلة المذكورة أعلاه سارية أيضاً حين تكون المتسلسلة غير متقاربة. أي أنه في تلك الحالة، جانبا الصيغة يساويا +∞.
نتيجة مباشرة
كنتيجة مباشرة لهذه المبرهنة، إذا كانت z هي أي عدد مركب غير صفري تتقارب به المتسلسلة ، إذاً
حيث تؤخذ النهاية من اليسار.
التطبيقات
أهمية مبرهنة آبل تنبع من أنها تتيح لنا العثور على نهاية لمتسلسلة أسية حين يقترب متغيرها (z) من 1 من الأسفل، حتى في حالات نصف قطر التقارب، R، للمتسلسلة الأسية يساوي 1، ولا نستطيع التأكد إذا ما كانت النهاية يجب حتى تكون محدودة. انظر على سبيل المثال المتسلسلة ثنائية الحدود.
Ga(z) تسمى الدالة المولدة للتسلسل a. مبرهنة آبل كثيراً ما تفيد في التعامل مع الدوال المولـِّدة لتسلسلات ذات قيمة حقيقية غير سالبة، مثل الدوال المولدة للاحتمالات. وخصوصاً، فإنها تفيد في نظرية عمليات گالتون-واتسون.
مفاهيم ذات صلة
المتناقضات لمبرهنة مثل مبرهنة آبل تسمى مبرهنات توبرية: وليس هناك متناقضة محددة، بل نتائج مشروطة على افتراضات معينة. مجال المتسلسلات المتباعدة، وطرق جمعهم، يحتوي الكثير من المبرهنات من النوع الآبلي ومن النوع التوبري.
وصلات خارجية
- نطقب:PlanetMath (a more general look at Abelian theorems of this type)
- نطقب:SpringerEOM
