عدد التكاثر الأساسي

قيم R₀ لأشهر الأمراض المعدية
السقم	الانتنطق	R₀
الحصبة	يتنقل بالهواء	12–18
شلل الأطفال	المسار الفموي-الشرجي	5–7
الحصبة الألمانية	الرذاذ المنقول بالهواء	5–7
النكاف	الرذاذ المقنول بالهواء	4–7
السعال الديكي	الرذاذ المنقول بالهواء	5.5
الجدري	الرذاذ المنقول بالهواء	3.5–6
متلازمة نقص المناعة المكتسبة	سوائل الجسم	2–5
سارس	الرذاذ المنقول بالهواء	2–5
الخناق	اللعاب	1.7–4.3
كوڤيد-19	الرذاذ المنقول بالهواء	1.4–3.9
الإنفلونزا (سلالة وباء 1918)	الرذاذ المنقول بالهواء	1.4–2.8
الإيبولا (جائحة 2014)	سوائل الجسم	1.5–2.5
الإنفلونزا (سلسلة جائحة 2009)	الرذاذ المنقول بالهواء	1.4–1.6
الإنفلونزا (السلالات الموسمية)	الرذاذ المحمول بالهواء	0.9–2.1
ميرس	الرذاذ المنقول بالهواء	0.3–0.8

ڤيديويناقش عدد التكاثر الأساسي (حوالي أربعة دقائق) ومعدل إماتة الحالة في سياق جائحة ڤيروس كورونا 2019-2020.

في فهم الأوبئة، عدد التكاثر الأساسي basic reproduction number (يُسمى أحياناً معدل التكاثر الأساسي basic reproductive ratio)، ويرمز له R₀، يُنطق R nought أوR zero) للعدوى، يمكن اعتباره العدد المتسقط الناتج بصفة مباشرة عن حالة واحدة ضمن مجموعة سكانية، حيثقد يكون جميع الأفراد عرضة للعدوى. يصف التعريف الحالة التيقد يكون فيها ليس هناك أفراد آخرين مصابين أولديهم مناعة (طبيعية أوعن طريق اللقاحات). بعض التعريفات، مثل تعريف وزارة الصحة الأسترالية، أضاف عدم وجود "أي تدخل متعمد في انتنطق السقم". يفضل عدم الخلط بين عدد التكاثر الأساسي وعدد التاكثر المؤثر R وهوعدد الحالات المتولدة في الحالة السكنية الحالية، والتي لا يجب حتى تكون حالة غير مصابة. حسب التعريف فإن R₀ لا يمكن تعديله من خلال حملات التطعيم. ومن المهم أيضاً ملاحظة حتى R₀ هوعدد بلا أبعاد ولا يعتبر معدلاً، والذي يجب حتىقد يكون له وحدات زمنية مثل زمن التضاعف.

R₀ هوليس ثابتاً حيوياً للمُسقم حيث أنه يتأثر أيضاً بعوامل أخرى مثل الظروف البيئية وسلوك السكان المصابين. علاوة على ذلك، فإن قيم R₀ عادة ما يتم تقديرهاً بالنماذج الرياضية، والقيم المقدرة تعتمد على النموذج المستخدم وقيم المتغيرات الأخرى. وبالتالي فإن القيم الواردة في الأدبيات لا معنى لها إلا في السياق المعني ويوصى بعدم استخدام القيم القديمة أومقارنة القيم بناءً على نماذج مختلفة.R₀ لا يعطي في حد ذاته تقديراً لمدى سرعة انتشار العدوى بين السكان.

الاستخدامات الأكثر أهمية لعدد R₀ هوتحديد ما إذا كان أحد الأمراض المعدية الناشء يمكنه الانتشار بين السكان وتحديد ما هي المجموعة السكانية التي يجب تحصينها بالتطعيم للقضاء على السقم. في نماذج العدوى الشائعة المستخدمة، عندماقد يكون R₀ > 1 ستكون العدوى قادرة على البدء في الانتشار بين السكان، لكن إذا كانR₀ < 1. بشكل عام، حدثا زادت قيمة R₀، حدثا زادت صعوبة السيطرة على الوباء. بالنسبة للنماذج البسيطة، يجب حتى تكون نسبة السكان الذين يحتاجون إلى لقاح فعال (بمعنى أنهم ليسوعرضة للعدوى)، لمنع الانتشار المستمر للعدوى، أكبر من 1 − 1/R₀. على العكس من ذلك، فإن نسبة السكان الذين لا زالوا غير معرضين للعدوى في حالة [[سقم متوطن|توازن الأمراض المتوطنة هي 1/R₀.

يتأثر عدد التكاثر الأساسي بعوامل مختلفة تضم زمن إعداء السقمى المتأثرين، عدائية العضية، وعدد الأشخاص المعرضين للإصابة من السكان الذين يتعامل معهم السقمى المتضررون.

التاريخ

يمكن فهم أصل مفهوم التكاثر الأساسي من خلال عمل رونالد روس، ألفريد لوتكا وآخرين،لكن أول تطبيق حديث له في فهم الأوبئة كان بواسطة جورج ماكدونالد عام 1952، الذي بنى نماذج سكانية لانتشار الملاريا. في عمله، سمى معدل التكاثر الأساسي للكمية بـ "Z ₀. قد يحدث تسمية الكمية ب"المعدل" مضللاً، بقدر ما يمكن تفسيره على أنه رقم لكل وحدة زمنية. ويفضل الآن استخدام عدد أونسبة التعبيرات أوالنسبة.

تعريفات في حالات محددة

عدد التكاثر من حيث علاقته بمعدل الاتصال والفترة المعدية

R₀ هومتوسط عدد الأشخاص المصابين من إنسان آخر، على سبيل المثال، R₀ للإيبولا هو2، بالتالي، فالمتوسط، يمكن للشخص الحامل للڤيروس حتى ينقله لشخصين آخرين.

افترض حتى الشخص المعدي يصنعβ التي تمثل الاتصالات التي قام بها الشخص لكل وحدة زمنية تنتج عدوى جديدة مع متوسط فترة العدوىγ. وبالتالي, رقم الاستنساخ الأساسي يمكن استنتاجه من المعادلة التالية

{\displaystyle R_{0 =\beta \,\gamma

تقترح هذه الصيغة البسيطة طرقًا مختلفة لتقليل R ₀ وانتشار العدوى في النهاية. من الممكن تقليل عدد جهات الاتصال المنتجة للعدوى لكل وحدة زمنية "β" عن طريق تقليل عدد جهات الاتصال لكل وحدة زمنية (على سبيل المثال البقاء في المنزل إذا كانت العدوى تتطلب الاتصال بالآخرين للانتشار) أونسبة جهات الاتصال التي ينتج عدوى (على سبيل المثال ارتداء نوع من معدات الحماية). من الممكن أيضًا تقليل الفترة المعدية "γ" عن طريق العثور على الأفراد المعدين ثم عزلهم أومعالجتهم أوالتخلص منهم (كما هوالحال غالبًا مع الحيوانات) في أقرب وقت ممكن.

علاقته بفترات الكمون المتفاوتة

في حالات الأمراض ذات الفترات الكامنة المتنوعة، يمكن حساب رقم التكاثر الأساسي كمجموع رقم التكاثر لكل فترة انتنطقية في السقم. مثال على ذلك هوالسل. Blower et al. محسوب من نموذج سهل من السل وهورقم التكاثر التالي:

{\displaystyle R_{0 =R_{0 ^{\mathrm {FAST +R_{0 ^{\mathrm {SLOW

في نموذجهم، يفترض حتى الأفراد المصابين يمكن حتى يصابوا بالسل النشط إما عن طريق التقدم المباشر (يتطور السقم مباشرة بعد الإصابة) الذي يعتبر سلًا سريعًا أوإعادة تنشيط داخلية (يتطور السقم بعد سنوات من الإصابة) حيث يعتبر سلًا بطيئًا.

المجموعات السكانية الغير متجانسة

في المجموعات غير المتجانسة،قد يكون تعريف "R" ₀ أكثر دقة. يجب حتى يراعي التعريف حقيقة حتى الفرد المصاب النموذجي قد لاقد يكون فردًا متوسطًا. كمثال متطرف، ضع في اعتبارك السكان الذي يختلط فيه جزء صغير من الأفراد بشكل تام مع بعضهم البعض بينما يتم عزل جميع الأفراد المتبقين. قد يحدث السقم قادرًا على الانتشار في الجزء المختلط تمامًا على الرغم من حتى الفرد المختار عشوائيًا سيؤدي إلى أقل من حالة ثانوية واحدة. وذلك لأن الفرد المصاب النموذجي موجود في الجزء المختلط تمامًا وبالتالي قادر على التسبب في الإصابة بنجاح. بشكل عام، إذا كان الأفراد الذين يصابون بالعدوى في وقت مبكر من الوباء قد يحدثون أكثر (أوأقل) من المحتمل حتى ينتقلوا من الأفراد المختارين عشوائياً في وقت متأخر من الوباء، فإن حسابنا لـ "R" ₀ يجب حتى يفسر هذا الاتجاه. تعريف مناسب لـ "R" ₀ في هذه الحالة هو"العدد المتسقط للحالات الثانوية التي ينتجها فرد مصاب نموذجي في وقت مبكر من الوباء".

طرق التقدير

أثناء الوباء، عادةً ماقد يكون عدد الإصابات المشخصة ${\displaystyle N(t)$

{\displaystyle K={\frac {d\ln(N) {dt .

للنموالأسي، يمكن تفسير ${\displaystyle N$ على أنه العدد التراكمي للتشخيصات (بما في ذلك الأفراد الذين تعافوا) أوالعدد الحالي للسقمى الذين تم تشخيصهم؛ معدل النمواللوغاريتمي هونفسه لأي من التعريفين. لتقدير ${\displaystyle R_{0$ ، تعد الافتراضات ضرورية حول التأخير الزمني بين الإصابة والتشخيص والوقت بين العدوى والبدء في العدوى.

فترة العدوى الكامنة، والعزل بعد التشخيص

في هذا النموذج، تنتقل العدوى الفردية إلى المراحل التالية:

المتعرض: الفرد مصاب، ولكن ليس لديه أعراض ولا يصيب الآخرين حتى الآن. مدة الحالة المكشوفة هي ${\displaystyle \ tau_{E$ .
الالتهابات المعدية: الفرد مصاب، وليس لديه أعراض، لكنه يصيب الآخرين. مدة الحالة المعدية الكامنة هي ${\displaystyle \ tau_{I$ . يصيب الفرد ${\displaystyle R_{0$ الأفراد الآخرين خلال هذه الفترة.
العزلة بعد التشخيص: يتم اتخاذ تدابير لمنع المزيد من العدوى، على سبيل المثال عن طريق عزل المريض.

هذا هونموذج SEIR وقد يُخط R₀ بالصيغة التالية

{\displaystyle R_{0 =1+K(\tau _{E +\tau _{I )+K^{2 \tau _{E \tau _{I .

كيفية التقدير هذه تم تطبيقها على كوڤيد-19 وسارس. يترتب على المعادلة التفاضلية حتى عدد الأفراد المعرضين ${\displaystyle n_{E$ وعدد الأفراد الحاملين للعدوى الكامنة، ${\displaystyle n_{I$ ،

{\displaystyle {\frac {d {dt {\begin{pmatrix n_{E \\n_{I \end{pmatrix ={\begin{pmatrix -1/\tau _{E &R_{0 /\tau _{I \\1/\tau _{E &-1/\tau _{I \end{pmatrix {\begin{pmatrix n_{E \\n_{I \end{pmatrix .

الجذر المميز الأكبر للمصفوفة هومعدل النمواللوغاريتمي ${\displaystyle K$ ، الذي يمكن حله لـ ${\displaystyle R_{0$ .

استخدامات أخرى

يتم استخدام R ₀ أيضًا كمقياس للنجاح التكاثري الفردي في بيئة السكان، تحليل الغزوالتطوري ونظرية تاريخ الحياة. وهويمثل متوسط عدد النسل المنتج على مدى حياة الفرد (في ظل ظروف مثالية).

ببساطة النموذج السكاني، R₀ يمكن حسابه، معدل اضمحلال صريح (او"معدل الوفيات") المعطاة. في هذه الحالة, معادلة معدل الاضمحلال (usually 1/d) يعطي متوسط عمر الفرد. عند ضربه في متوسط عدد النسل للفرد في جميع خطوة زمنية (the "birth rate" b), this gives R₀ = b/d. بالنسبة للنماذج الأكثر تعقيدًا التي لها معدلات نمومتغيرة (على سبيل المثال بسبب التحديد الذاتي أوالاعتماد على كثافات الطعام)، يجب استخدام الحد الأقصى لمعدل النمو.

حدود R₀

عندما يتم حسابها من النماذج الرياضية، ولا سيما المعادلة التفاضلية العادية، فإن ما يُدعى غالبًا أنه R ₀ هوفي الواقع مجرد عتبة، وليس متوسط عدد الإصابات الثانوية. هناك الكثير من الطرق المستخدمة لاشتقاق مثل هذه العتبة من النموذج الرياضي، ولكن القليل منها دائمًا ما يعطي القيمة الحقيقية لـ R ₀. هذا يمثل معضلة خاصة إذا كانت هناك ناقلات وسيطة بين المضيفين، مثل الملاريا.

ما ستعمله تلك العتبات هوتحديد إذا ما كان سقمٌ يفترض أن يذبل (إذا كانت R₀ < 1) أوسيصبح وباءً (إذا كانت R₀ > 1)، ولكنهم عموماً لا يمكنهم مقارنة أمراضٍ مختلفة. لذلك، فالقيم من الجدول أعلاه يجب حتى تُستخدَم بحذر، خصوصاً إذا كانت القيم محسوبة من نماذج رياضية.

تضم الأساليب معادلة البقاء، وإعادة ترتيب أكبر قيمة ذاتية eigenvalue من مصفوفة جاكوبي، وهي طريقة الجيل التالي، الحسابات من معدل النموالجوهري، وجود التوازن المستوطن، عدد المستضعفين في التوازن المستوطن، متوسط عمر العدوى ومعادلة الحجم النهائي. القليل من هذه الأساليب تتفق مع بعضها البعض، حتى عند البدء بنفس نظام المعادلات التفاضلية. حتى أقل من ذلك يحسب بالعمل متوسط عدد الإصابات الثانوية. نظرًا لأن R ₀ نادرًا ما تتم ملاحظته في الحقل ويتم حسابه عادةً عبر نموذج رياضي، فإن هذا يحد بشدة من فائدته.

في الثقافة العامة

في فيلم العدوى الذي عُرض في 2011، هوفيلم خيالي يعرض كارثة طبية خيالية، "R" ₀ يتم عرض حسابات المدون لتعكس تقدم عدوى فيروسية مميتة التي تتحول من دراسات حالة إلى جائحة. الأساليب المصورة في الفيلم كانت خاطئة.

انظر أيضاً

فهم الأوبئة الرقمي
Epi Info برنامج حاسوب
نموذج وبائي
الطريقة الوبائية
الانتنطق الوبائي

الهوامش

Compartmental models in epidemiology describe disease dynamics over time in a population of susceptible (S), infectious (I), and recovered (R) people using the SIR model. Note that in the SIR model, R(0) and R₀ are different quantities - the former describes the number of recovered at t = 0 whereas the latter describes the ratio between the frequency of contacts to the frequency of recovery.
According to Guangdong Provincial Center for Disease Control and Prevention, "The effective reproductive number (R) is more commonly used to describe transmissibility, which is defined as the average number of secondary cases generated by per [sic] infectious case. In the absence of control measures, R = R₀χ, where χ is the proportion of the susceptible population." For example, the effective reproductive number for 2019-nCoV was found as 2.9, whereas for SARS it was 1.77.

المصادر

^ Unless noted قيم R₀ من History and Epidemiology of Global Smallpox Eradication (Archived 2016-05-10 at the Wayback Machine.), a module of the training course "Smallpox: Disease, Prevention, and Intervention". The CDC and the World Health Organization, 2001. Slide 17. This gives sources as "Modified from Epid Rev 1993;15: 265-302, Am J Prev Med 2001; 20 (4S): 88-153, MMWR 2000; 49 (SS-9); 27-38"
^ Guerra, Fiona M.; Bolotin, Shelly; Lim, Gillian; Heffernan, Jane; Deeks, Shelley L.; Li, Ye; Crowcroft, Natasha S. (1 December 2017). "The basic reproduction number (R0) of measles: a systematic review". The Lancet Infectious Diseases (in English). 17 (12): e420–e428. doi:10.1016/S1473-3099(17)30307-9. ISSN 1473-3099. Retrieved 18 March 2020.CS1 maint: unrecognized language (link)
^ Kretzschmar M, Teunis PF, Pebody RG (2010). "Incidence and reproduction numbers of pertussis: estimates from serological and social contact data in five European countries". PLOS Med. 7 (6): e1000291. doi:10.1371/journal.pmed.1000291. PMC 2889930. PMID 20585374.
^ Gani, Raymond; Leach, Steve (December 2001). "Transmission potential of smallpox in contemporary populations". Nature (in الإنجليزية). 414 (6865): 748–751. doi:10.1038/414748a. ISSN 1476-4687. Retrieved 18 March 2020.
^ Wallinga J, Teunis P (2004). "Different epidemic curves for severe acute respiratory syndrome reveal similar impacts of control measures". Am. J. Epidemiol. 160 (6): 509–16. doi:10.1093/aje/kwh255. PMID 15353409. Archived from the original on 2007-10-06.
^ Truelove, Shaun A.; Keegan, Lindsay T.; Moss, William J.; Chaisson, Lelia H.; Macher, Emilie; Azman, Andrew S.; Lessler, Justin. "Clinical and Epidemiological Aspects of Diphtheria: A Systematic Review and Pooled Analysis". Clinical Infectious Diseases (in الإنجليزية). doi:10.1093/cid/ciz808. Retrieved 18 March 2020.
^ Li Q, Guan X, Wu P, Wang X, Zhou L, Tong Y, et al. (January 2020). "Early Transmission Dynamics in Wuhan, China, of Novel Coronavirus-Infected Pneumonia". The New England Journal of Medicine. doi:10.1056/NEJMoa2001316. PMID 31995857.
^ Riou, Julien and Althaus, Christian L. (2020). "Pattern of early human-to-human transmission of Wuhan 2019 novel coronavirus (2019-nCoV), December 2019 to January 2020". Eurosurveillance. 25 (4). doi:10.2807/1560-7917.ES.2020.25.4.2000058. PMC 7001239 Check |pmc= value (help). PMID 32019669 Check |pmid= value (help).CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Liu T, Hu J, Kang M, Lin L (January 2020). "Time-varying transmission dynamics of Novel Coronavirus Pneumonia in China". bioRxiv. doi:10.1101/2020.01.25.919787.
^ Read JM, Bridgen JRE, Cummings DAT, et al. (28 January 2020). "Novel coronavirus 2019-nCoV: early estimation of epidemiological parameters and epidemic predictions". MedRxiv. doi:10.1101/2020.01.23.20018549.
^ Wu, Joseph T.; Leung, Kathy; Bushman, Mary; Kishore, Nishant; Niehus, Rene; de Salazar, Pablo M.; Cowling, Benjamin J.; Lipsitch, Marc; Leung, Gabriel M. (19 March 2020). "Estimating clinical severity of COVID-19 from the transmission dynamics in Wuhan, China". Nature Medicine (in الإنجليزية): 1–5. doi:10.1038/s41591-020-0822-7. ISSN 1546-170X.
^ Ferguson NM; Cummings DA; Fraser C; Cajka JC; Cooley PC; Burke DS (2006). "Strategies for mitigating an influenza pandemic". Nature. 442 (7101): 448–452. doi:10.1038/nature04795. PMID 16642006.
^ Althaus, Christian L. (2014). "Estimating the Reproduction Number of Ebola Virus (EBOV) During the 2014 Outbreak in West Africa". PLOS Currents. 6. arXiv:1408.3505. Bibcode:2014arXiv1408.3505A. doi:10.1371/currents.outbreaks.91afb5e0f279e7f29e7056095255b288. PMC 4169395. PMID 25642364.
^ Coburn BJ; Wagner BG; Blower S (2009). "Modeling influenza epidemics and pandemics: insights into the future of swine flu (H1N1)". BMC Medicine. 7. Article 30. doi:10.1186/1741-7015-7-30. PMID 19545404.
^ Kucharski, Adam and Althaus, Christian L. (2015). "The role of superspreading in Middle East respiratory syndrome coronavirus (MERS-CoV) transmission". Eurosurveillance. 20 (26): 14–8. doi:10.2807/1560-7917.ES2015.20.25.21167. PMID 26132768.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Milligan, Gregg N.; Barrett, Alan D. T. (2015). Vaccinology : an essential guide. Chichester, West Sussex: Wiley Blackwell. p. 310. ISBN . OCLC 881386962.
^ Christophe Fraser; Christl A. Donnelly; Simon Cauchemez; et al. (19 June 2009). "Pandemic Potential of a Strain of Influenza A (H1N1): Early Findings". Science. 324 (5934): 1557–1561. Bibcode:2009Sci...324.1557F. doi:10.1126/science.1176062. PMC 3735127. PMID 19433588.Free text
^ "Department of Health | 2.2 The reproduction number". www1.health.gov.au. Retrieved 2020-02-01.
^ Jones, James. "Notes On R0" (PDF). Stanford University.
^ Siegel, Ethan. "Why 'Exponential Growth' Is So Scary For The COVID-19 Coronavirus". Forbes (in الإنجليزية). Retrieved 2020-03-19.
^ Delamater, Paul L.; Street, Erica J.; Leslie, Timothy F.; Yang, Y. Tony; Jacobsen, Kathryn H. (January 2019). "Complexity of the Basic Reproduction Number (R 0 )". Emerging Infectious Diseases. 25 (1): 1–4. doi:10.3201/eid2501.171901. ISSN 1080-6040. PMC 6302597. PMID 30560777.
^ Fine, Paul; Eames, Ken; Heymann, David L. (2011-04-01). Herd Immunity": A Rough Guide". Clinical Infectious Diseases (in الإنجليزية). 52 (7): 911–916. doi:10.1093/cid/cir007. ISSN 1058-4838. PMID 21427399.
^ Smith, David L.; Battle, Katherine E.; Hay, Simon I.; Barker, Christopher M.; Scott, Thomas W.; McKenzie, F. Ellis (2012-04-05). "Ross, Macdonald, and a Theory for the Dynamics and Control of Mosquito-Transmitted Pathogens". PLOS Pathogens. 8 (4): e1002588. doi:10.1371/journal.ppat.1002588. ISSN 1553-7366. PMC 3320609. PMID 22496640.
^ Macdonald, G. (September 1952). "The analysis of equilibrium in malaria". Tropical Diseases Bulletin. 49 (9): 813–829. ISSN 0041-3240. PMID 12995455.
^ Blower، S. M.، Mclean، A. R.، Porco، T. C.، Small، P. M.، Hopewell، P. C.، Sanchez، M. A.، et al. (1995). "ديناميكيات انتنطق العدوى الوبائية للسل". "طب الطبيعة"، 1، 815-821.
^ O Diekmann; J.A.P. Heesterbeek; J.A.J. Metz (1990). "On the definition and the computation of the basic reproduction ratio R₀ in models for infectious diseases in heterogeneous populations". Journal of Mathematical Biology. 28 (4): 356–382. doi:10.1007/BF00178324. hdl:1874/8051. PMID 2117040.
^ Lipsitch, Marc; Cohen, Ted; Cooper, Ben; Robins, James M.; Ma, Stefan; James, Lyn; Gopalakrishna, Gowri; Chew, Suok Kai; Tan, Chorh Chuan; Samore, Matthew H.; Fisman, David (2003-06-20). "Transmission Dynamics and Control of Severe Acute Respiratory Syndrome". Science. 300 (5627): 1966–1970. Bibcode:2003Sci...300.1966L. doi:10.1126/science.1086616. ISSN 0036-8075. PMC 2760158. PMID 12766207.
^ Zeng, Daniel Dajun; Song, Hongbing; Jia, Zhongwei; Pfeiffer, Dirk; Lu, Xin; Zhang, Qingpeng; Cao, Zhidong (2020-01-29). "Estimating the effective reproduction number of the 2019-nCoV in China". MedRxiv: 2020.01.27.20018952. doi:10.1101/2020.01.27.20018952v1 (inactive 2020-03-13).
^ de Boer; Rob J. Unknown parameter |العنوان= ignored (help); Missing or empty |title= (help); |access-date= requires |url= (help)
^ Li J, Blakeley D, Smith? RJ (2011). ". Computational and Mathematical Methods in Medicine. 2011 (527610): 1–17. doi:10.1155/2011/527610. PMC 3157160. PMID 21860658.
^ Diekmann O, Heesterbeek JA (2000). Mathematical epidemiology of infectious diseases: model building, analysis and interpretation. New York: Wiley.
^ Chowell G, Hengartnerb NW, Castillo-Chaveza C, Fenimorea PW, Hyman JM (2004). "The basic reproductive number of Ebola and the effects of public health measures: the cases of Congo and Uganda". Journal of Theoretical Biology. 229 (1): 119–126. arXiv:q-bio/0503006. doi:10.1016/j.jtbi.2004.03.006. PMID 15178190.
^ Ajelli M; Iannelli M; Manfredi P & Ciofi degli Atti, ML (2008). "Basic mathematical models for the temporal dynamics of HAV in medium-endemicity Italian areas". Vaccine. 26 (13): 1697–1707. doi:10.1016/j.vaccine.2007.12.058. PMID 18314231.
^ Heffernan JM, Smith RJ, Wahl LM (2005). "Perspectives on the Basic Reproductive Ratio". Journal of the Royal Society Interface. 2 (4): 281–93. doi:10.1098/rsif.2005.0042. PMC 1578275. PMID 16849186.
^ Byrne, Michael (October 6, 2014), The Misunderstood Number That Predicts Epidemics, https://www.vice.com/en_us/article/pgazpv/meet-r-nought-the-magic-number-that-spreads-infectious-diseases, retrieved on 2020-03-23
^ Liu, Tao; Hu, Jianxiong; Kang, Min; Lin, Lifeng; Zhong, Haojie; Xiao, Jianpeng; He, Guanhao; Song, Tie; Huang, Qiong; Rong, Zuhua; Deng, Aiping; Zeng, Weilin; Tan, Xiaohua; Zeng, Siqing; Zhu, Zhihua; Li, Jiansen; Wan, Donghua; Lu, Jing; Deng, Huihong; He, Jianfeng; Ma, Wenjun (2020-01-25). "Transmission dynamics of 2019 novel coronavirus (2019-nCoV)". bioRxiv. doi:10.1101/2020.01.25.919787.

قراءات إضافية

Heesterbeek, J.A.P. (2002). and a recipe for its calculation". Acta Biotheoretica. 50 (3): 189–204. doi:10.1023/A:1016599411804. PMID 12211331.
Heffernan, J.M.; Smith, R.J.; Wahl, L.M. (October 2005). "Perspectives on the basic reproductive ratio". Journal of the Royal Society Interface. 2 (4): 281–293. doi:10.1098/rsif.2005.0042. PMC 1578275. PMID 16849186.
Jones, James Holland (1 May 2007). " (PDF). Retrieved 6 November 2018.
Van Den Driessche, P.; Watmough, James (2008). "Further Notes on the Basic Reproduction Number". Mathematical Epidemiology. Lecture Notes in Mathematics. 1945. pp. 159–178. doi:10.1007/978-3-540-78911-6_6. ISBN .