عاملي

في الرياضيات، المضروب أوالعاملي لعدد سليم طبيعي n، والذي يخط ${\displaystyle n!$

{\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\

وتعريف العاملي على شكل جداء يترتب عنه كون ${\displaystyle 0!=1$ ذلك حتى 0! جداء مفرغ، وبمعنى آخر مختصر اي عدد مضروب في صفر يساوي صفر في عملية الضرب.

تظهر دالة العاملي في مجالات مختلفة من الرياضيات، وخصوصا في التوافقيات والجبر والتحليل الرياضي. أبسط مثال على ذلك، وجود !n طريقة مختلفة لترتيب عناصر مجموعة عددهم مساول n (أي عدد التبديلات لعناصر هاته المجموعة). عهدت هذه الحقيقة على الأقل منذ القرن الثاني عشر الميلادي، من طرف فهماء الرياضيات الهنديين. ويظهر العاملي في عدة معادلات رياضية، مثل صيغة الثنائي لنيوتن وصيغة تايلور. استخدم رمز علامة التعجب (!) للتعبير عن دالة عاملي لأول مرة من طرف عالم الرياضيات كريستيان كرامب وكان ذلك عام 1808.

يمكن لتعريف دالة عاملي حتى يمدد إلى أعداد غير سليمة بدون المساس بخصائص هاته الدالة. هذا العملية تستلزم تقنيات متطورة في الرياضيات وخصوصا تلك المستقاة من التحليل الرياضي.

تعريف

تعهد دالة عاملي بالصيغة التالية:

{\displaystyle n!=\prod _{i=1 ^{n i=1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)\times n

أوعن طريق الاستنادىء الذاتي كما يلي

{\displaystyle n!={\begin{cases 1&{\text{if n=0,\\(n-1)!\times n&{\text{if n>0.\end{cases

وكلا التعريفين يضم المتساوية التالية :

{\displaystyle 0!=1,\

تطبيقات

يمكننا التعبير عن التوفيقة بدلالة العاملي:

{\displaystyle {\binom {n {k ={\frac {n^{\underline {k {k! ={\frac {n! {(n-k)!k! ={\frac {n^{\underline {n-k {(n-k)! ={\binom {n {n-k .

نظرية الأعداد

لدالة عاملي عدة تطبيقات في مجال نظرية الأعداد. وبشكل خاص، عاملي n قابل للقسمة على جميع الأعداد الأولية الأصغر من أوتساوي n. ونتيجة لذلك، فإن n> 5، عدد مؤلف، إذا وفقط إذا توفر ما يلي :

{\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0{\pmod {n

وهنالك نتيجة أقوى من ذلك تتمثل في مبرهنة ويلسون. تنص هاته المبرهنة على ما يلي:

{\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p

إذا وفقط إذا كان p أوليا.

سرعة النمووتقريبات عندما يصير n كبيرا

تبيان للوغاريتم الطبيعي مطبق على دالة عاملي

عندما يصير n كبيرا، تصير دالة عاملي أكبر من أي متعددة حدود ومن أي دالة أسية ل n.(ولكنها تظل أبطأ من دالة الأس المزدوج).

أغلب التقريبات لعاملي n تعتمد أساسا على تقريب لوغارتمها الطبيعي كما تبين الصيغة :

${\displaystyle \log n!=\sum _{x=1 ^{n \log x.$ .

تبيان الدالة (!f(n) = log(n مبين في يسار هاته الفقرة، حيث يظهر أنها خطية مع n (أي أنها متناسبة معه) إلا حتى هذا الحدس خاطئ.

تعطينا صيغة ستيرلينغ مقاربا ل n! عندما تكون n كبيرة :

{\displaystyle \lim _{n\to +\infty {\frac {n! {{\sqrt {2\pi n (n/e)^{n =1.

الحساب والبرمجة

يمكن حساب عاملي عدد ما باستعمال خوارزميات الاستقراء. فلنخط باستعمال لغة Scheme، القريبة من لغة Lisp، برنامجا استقرائيا يعطينا عاملي عدد سليم :

(define fact
 (lambda (x)
  (if (= x 0) 1
   (* x (fact (- x 1))))))

وهذا البرنامج السابق غير مفيد في حالة الاعداد الكبيرة.

وبنفس الطريقة في Caml :

let rec fact n = 
 match n with
  | 0 -> 1
  | _ -> n * fact(n-1)
;;

وبطريقة أخرى:

let fact n =
 let rec aux n r =
  match n with
   | 0 -> r
   | _ -> aux (n-1) (n*r)
 in
 aux n 1
;;

وفي لغة سي:

 int factorielle_recursive(int n)
 {
   if (n == 0)
     return 1;
     return n * factorielle_recursive(n-1);

وبطريقة أخرى:

 int factorielle_iterative(int n)
 {
   int res;
   &nbsp;
   for (res = 1; n> 1; n--)
     res *= n;
   &nbsp;
   return res;

وفي لغة بايثون:

def factSimple(num) :
    if num== 0 :
        return 1
    else :
        fact= 1
        count= 1
        while count<= num:
            fact*= count
            count+= 1
        return fact
print("5! = " +str(factSimple(5))) #on the screen : 5! = 120

وبطريقة ثانية:

def fact(num):
    if num==0:
        return 1
    else:
        return num*factorial(num-1)
print("5! = " +str(fact(5))) #on the screen : 5! = 120

وبطريقة ثالثة:

factLambda = lambda num : num>0 and num*fact(num-1) or 1
print("5! = " +str(factLambda(5))) #on the screen : 5! = 120

وفي لغة جافاسكربت:

function fect(n){
	let res;
	for (res = 1; n > 1; n--)
		res *= n;

	return res;

وبطريقة اخرى:

function fact(n)
{
   if (n == 0)
      return 1;
   else
      return n * fact(n - 1);

هذه الدوال (البرامج) لا تمكننا من حساب عملي أعداد أكبر من 12 إذا كانت الاعداد السليمة محدودة بـ 32 بت، لأن النتيجة تتعدى المساحة المتوفرة.

تمديد دالة عاملي للأعداد غير السليمة

دالتا غاما وπ

لكل عدد سليم n، لدينا ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!$

{\displaystyle \Gamma (z+1)=\int _{0 ^{\infty t^{z e^{-t \,\mathrm {d t=z!\ \forall z>-1

دوال وجداءات تشبه دالة عاملي

عاملي ثنائي

يطلق على جداء جميع الأعداد السليمة من 1 إلى $n$ والتي لها نفس الزوجية (سواء كان فردي أوزوجي) تماما مثل $n$ ، اسم العاملي الثنائي (بالإنجليزية: Double factorial)‏ للعدد $n$ ويُشار إليه بـ $n!!$

يمكن حتى نعهدها بواسطة متسلسلة الجداء:

{\displaystyle n!!=\prod _{k=0 ^{\left\lceil {\frac {n {2 \right\rceil -1 (n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots

حيث ${\displaystyle \left\lceil n\right\rceil$

عاملي متعدد

من الترميزات الشائعة ذات الصلة هي استخدام علامات تعجب متعددة للإشارة إلى عاملي متعدد (بالإنجليزية: Multifactorial)‏، أنواعها: عاملي ثنائي (

n!!

)، عاملي ثلاثي (

n!!!

)، ... إلى غير ذلك. يعهد العاملي المتعدد بـ:

{\displaystyle n!^{(k) ={\begin{cases n&{\text{if 0<n\leq k,\\n\left({(n-k)! ^{(k) \right)&{\text{if n>k.\end{cases

عاملي الأعداد الأولية

عاملي الأعداد الأولية (بالإنجليزية: Primorial)‏ للعدد n هوجداء جميع الأعداد الأولية أقل من أويساوي n، يرمز إليها بـ $n#$ .

نُعرّفه كمتسلسلة الجداء:

{\displaystyle n\#=\prod _{p\leq n p,

حيث p هي الأعداد الأولية.

انظر أيضا

دالة غاما
الأعداد المثلثية
تقريب ستيرلينغ
عاملي أعداد أولية

مراجع

^ "معلومات عن عاملي على مسقط britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل فيستة مايو2016.
^ "معلومات عن عاملي على مسقط zthiztegia.elhuyar.eus". zthiztegia.elhuyar.eus. مؤرشف من الأصل فيعشرة ديسمبر 2019.
^ "معلومات عن عاملي على مسقط oeis.org". oeis.org. مؤرشف من الأصل فيسبعة مايو2019.