في الجبر الخطي، المحدد determinant هودالة رياضية تعتمد على العدد n ويربط قيمة قياسية scalar هي det(A) بكل مصفوفة مربعة n×n .

المعنى الهندسي الأساسي للمحدد هوانه بمثابة عامل المقياس للحجم عندما يعتبر A تحويلا خطيا . المحددات مهمة جدا في التحليل الرياضي (قاعدة الاستبدال) والجبر الخطي المتعدد multilinear algebra .

يرمز عادة لمحدد مصفوفة ما A بالرمز |A|

انواع المحددات

بداية لا يمكن حساب المحدد إلا للمصفوفة المربعة ويكون المحدد بحسب ابعاد المصفوفة فإن كانت المصفوفة المربعة ذات بعد nقد يكون المحدد من المرتبة n , ويعطي المحدد قيمة عددية للمصفوفة اللقاءة

حساب المحددات

• حساب المحدد من المرتبة الاولى يملك نفس قيمة العنصر الوحيد للمصفوفة اللقاءة
• حساب المحدد من المرتبة الثانية ويكون وفق القانون :

A=${\displaystyle {\begin{vmatrix a11&a12\\a21&a22\end{vmatrix \,=a11*a22-a12*a21$

• حساب المحدد من المرتبة الثالثة :
  • طريقة ساروس :
    طريقة ساروس لحساب محدد من المرتبة الثالثة
  • طريقة النجمة :
    طريقة النجمة

المراحل : المستوى الأولى :

نأخذ عناصر القطر الرئيسي ونصل بينها بخط ...

ثم نأخذ العنصر الموجود في الزاوية اليمينية العليا وهوa_13 ونصله بخط مع العنصر a_32

ثم نصل بخط بين العنصرين a_32 و a_21

ثم نصل بين a_21 و a_13 كي نشكل مثلثاً ..

وأيضاً نشكل مثلثاً آخر بنفس الطريقة نصل بين a_31 مع a_12 وبين a_12 مع a_23 ثمَّ بين a_23 مع ئ_31 نأخذ جميع ثلاثة عناصر موصولة بخط واحد أومثلث واحد ونحسب جداءها ونجمع الجداءات

أي (a11 * a22 * a33)+(a13 * a21 * a32)+(a31 * a12 * a23)

المستوى الثانية : نأخذ عناصر القطر الثانوي ونصل بينها بخط ... ثم نأخذ العنصر الموجود في الزاوية اليسارية العليا وهوa_11 ونصله بخط مع العنصر a_23 ثم نصل بخط بين العنصرين a_23 و a_32 ثم نصل بين a_32 و a_11 كي نشكل مثلثاً ..

ونشكل مثلثاً آخر بنفس الطريقة نصل بين 33 a مع a21 وبين a21 مع a12 ثمَّ بين a12 مع a33 أيضاً نأخذ جميع ثلاثة عناصر موصولة بخط واحد أومثلث واحد ونحسب جداءها ونطرح الجداءات من الناتج السابق أي: - (a13 * a22 * a31) – (a11 * a23 * a32) – (a12 * a21 * a33) بجمع المقدارين ينتج لدينا قيمة المحدد ...

مثال : احسب قيمة المحدد التالي : A=${\displaystyle {\begin{vmatrix 1&0&3\\2&1&5\\2&1&3\end{vmatrix \,$

الحل : بحسب طريقة ساروس نأخذ العمودين الأول والثاني ونضعهما على يمين العمود الثالث .. ثم نكمل الحساب كما في السابق : |A|= ثلاثة + 0 +ستة -ستة -خمسة – 0 = - 2

2- طريقة النجمة : ( ثلاثة +ستة + 0 ) + (-6 -5 -0) = -2

• حساب المحددات من المرتبة n

لتكن A=[a_ij ] مصفوفة مربعة من المرتبة n محددها هو|A| ندعوالمحدد |Aij| والناتج من حذف السطر i والعمود j في المحدد |A| بصغير العنصر aij من المصفوفة A وندعو${\displaystyle Aij=(-1)^{i +j.|A_{( ij)|$ بالمتمم الجبري للعنصر aij من المصفوفة A

إن Aij هي المتممات الجبرية للمصفوفة [A=[a_ij من أجل جميع : i= 1, 2, ……n j = 1,2,…….n

يمكن حساب قيمة المحدد |A| من المرتبة n بنشره وفق عناصر السطر i كما يلي :

|A| = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 .Ai3 + ……………+ ain. Ain

تعريف: لتكن A مصفوفة مربعة من المرتبة n أي أنَّ : ${\displaystyle A=[a_{ij ]_{n$

${\displaystyle {\begin{bmatrix a_{11 &a_{12 &a_{13 &\cdots &a_{1n \\a_{21 &a_{22 &a_{13 &\cdots &a_{2n \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\a_{m1 &a_{m2 &a_{m3 &\cdots &a_{mn \end{bmatrix$

ندعو الرمز |A| أو det A بمحدد المصفوفة A من المرتبة n ونخط :

det A = ${\displaystyle \left|a_{ij \right|_{n$ = ${\displaystyle \left|A\right|_{n$ = ${\displaystyle \left|A\right|$

مثال :

${\displaystyle {\begin{vmatrix a_{11 &a_{12 &a_{13 &\cdots &a_{1n \\a_{21 &a_{22 &a_{13 &\cdots &a_{2n \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\a_{m1 &a_{m2 &a_{m3 &\cdots &a_{mn \end{vmatrix$ = ${\displaystyle \left|A\right|$

أنواع المحددات :

1. المحدد من المرتبة الأولى :

${\displaystyle |a_{11 |$ = ${\displaystyle |A|_{1$ ===> ${\displaystyle A=[a_{11 ]$

1. المحدد من المرتبة الثانية :

خواص المحددات

1.إن |A|=|At| إي أنه :إذا بدلنا في مواقع الأسطر والأعمدة فإن المحدد للمصفوفة A لا تتغير قيمته أي جعلنا الأسطر أعمدة والأعمدة أسطر فإن قيمة المحدد لا تتغير وكل خاصة سليمة من أجل الأعمدة سليمة من أجل الأسطر والعكس سليم .

مثال :

|A| = ${\displaystyle {\begin{vmatrix 1&2\\3&2\end{vmatrix \,=-4$

|At| =${\displaystyle {\begin{vmatrix 1&3\\2&2\end{vmatrix \,=-4$

2.إذا بدلنا بين موضعي سطرين (أوعمودين ) في المحدد |A| فإن قيمة هذا المحدد لا تتغير ولكـــن :: تكون مخالفة بالإشارة

3.إذا كانت جميع عناصر أحد الأسطر (أوأحد الأعمدة ) في محدد ما تساوي الصفر فإن قيمة هذا المحدد تكون معدومة .

مثال

|A|=${\displaystyle {\begin{vmatrix 0&1&5&1\\0&2&6&1\\0&3&7&1\\0&4&8&1\end{vmatrix \,=0$

لأن العمود الاول كله اصفار.

4.إذا وُجِدَ في محدد سطرين (أوعمودين) متماثلين فإن قيمة هذا المحدد تكون مساوية للصفر .

5.إذا وُجِدَ في محدد سطران متناسبان (أوعمودان متناسبان) فإن قيمة هذا المحدد تساوي الصفر

مثال

|A|=${\displaystyle {\begin{vmatrix 3&6&9\\1&2&3\\1&2&1\end{vmatrix \,$ = 18 -ستة - 18 – 18 + 18 +ستة =0

لوجود سطرين متناسبين

6.محدد مصفوفة مثلثية سفلية ( أوعلوية ) يساوي إلى جداء عناصر قطرها الرئيسي

مثال :

|A|=${\displaystyle {\begin{vmatrix 1&1&5&1\\0&2&6&1\\0&0&7&1\\0&0&0&1\end{vmatrix =14$

7.إذا كانت جميع عناصر سطر ما أوعمود ما في محدد تعبير عن مجموع عنصرين فإن هذا المحدد يفرق إلى مجموع محددين .

أي : إذا كان السطر i يخط بالشكل ${\displaystyle x1+y1x2+y2x3+y3xn+yn$

فإن المحدد |A| يخط بالشكل :

مثال :

A=${\displaystyle {\begin{vmatrix 1&2&5\\0&5&12\\-1&3&7\end{vmatrix \,$ =${\displaystyle {\begin{vmatrix 1&2&5\\-1+1&3+2&7+5\\-1&3&7\end{vmatrix \,$ =${\displaystyle {\begin{vmatrix 1&2&5\\-1&3&7\\-1&3&7\end{vmatrix \,$ + ${\displaystyle {\begin{vmatrix 1&2&5\\1&2&5\\-1&3&7\end{vmatrix \,$

8.إذا ضربنا أحد الأسطر{ جميع عناصر هذا السطر (أوأحد الأعمدة ) في محدد ما بعدد ثابت غير معدوم فإن قيمة هذا المحدد تكون مضروبة بهذا العدد.

مثال :

|A| =${\displaystyle {\begin{vmatrix 3&9&18\\2&4&7\\8&1&1\end{vmatrix \,$

|A| =3* ${\displaystyle {\begin{vmatrix 1&3&6\\2&4&7\\8&1&1\end{vmatrix \,$

9.قيمة محدد المصفوفة الواحدية هوالواحد

10.لا تتغير قيمة المحدد إذا أضفنا أوطرحنا إلى أحد عناصر أسطره (أوأحد عناصر أعمدته ) العناصر اللقاءة لها من سطر آخر ( أوعمود آخر ) بعد ضربها بعدد ما لا يساوي الصفر .

مثال احسب قيمة المحدد التالي :

${\displaystyle {\begin{vmatrix 2&4&-1&5\\3&0&-3&1\\-1&1&4&3\\1&-5&2&1\end{vmatrix \,$

الحل : نستخدم الطريقة المباشرة ننشر حسب السطر الثاني لوجود صفر فيه